$2^n$ 首位为 1 的概率

把“随机正整数”严格化为 $n$ 在 $\{1,2,\ldots,N\}$ 上均匀，求 $N\to\infty$ 的极限。

$2^n$ 的首位为 1 当且仅当存在整数 $k$ 使

$$10^k<2^n<2\cdot 10^k.$$

取常用对数得

$$k< n\log_{10}2 < k+\log_{10}2.$$

当 $N\to\infty$ 时，$\{n\log_{10}2\}$ 在 $[0,1)$ 上等分布（因为 $\log_{10}2$ 无理），因此上述不等式成立的概率等于区间长度 $\log_{10}2$。

所以所求极限概率为

$$\boxed{\log_{10}2}\approx 0.3010.$$