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1..9 绕圆排列

九点分布圆

专题
Probability / 概率
难度
L4

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概率题：1..9 绕圆排列：最小化相邻差绝对值和的概率。

英文原题

If x1,x2,…,x9x_{1},x_{2},\ldots ,x_{9} is a random arrangement of numbers 1,2,…,91,2,\ldots ,9 around a circle, what is the probability that ∑i=19∣xi+1−xi∣\textstyle \sum_{i = 1}^{9}\left|x_{i + 1} - x_{i}\right| is minimized? (Here, x10=x1x_{10} = x_{1} .)

解析

记

S=∑i=19∣xi+1−xi∣,x10=x1.S=\sum_{i=1}^9 |x_{i+1}-x_i|,\quad x_{10}=x_1.

不妨固定旋转使 x1=1x_1=1。

令 xk=9x_k=9。由三角不等式可得 S≥∣9−1∣+∣1−9∣=18S\ge |9-1|+|1-9|=18，且当且仅当从 1 到 9 的那一段严格递增、从 9 回到 1 的那一段严格递减时取到 18。

对给定 kk，只需从 {2,3,…,8}\{2,3,\ldots,8\} 中选 k−2k-2 个放在 1 与 9 之间并按递增排列，其余按递减放在 9 与 1 之间，因此最小配置数为

∑k=29(7k−2)=27=128.\sum_{k=2}^{9}\binom{7}{k-2}=2^7=128.

总排列数在 x1=1x_1=1 下为 8!8!，所以所求概率为

1288!=1315.\boxed{\frac{128}{8!}=\frac{1}{315}}.

英文解析

S=∑i=19∣xi+1−xi∣,x10=x1.S=\sum_{i=1}^9 |x_{i+1}-x_i|,\quad x_{10}=x_1. ∑k=29(7k−2)=27=128.\sum_{k=2}^{9}\binom{7}{k-2}=2^7=128. 1288!=1315.\boxed{\frac{128}{8!}=\frac{1}{315}}.