袜子抽两只同红概率为 1/2：最小袜子数

The Sock Drawer

专题: Probability / 概率
难度: L4
来源: QuantQuestion

题目详情

A drawer contains red socks and black socks. When two socks are drawn at random, the probability that both are red is $\frac{1}{2}$ . (a) How small can the number of socks in the drawer be? (b) How small if the number of black socks is even?

解析

设红袜 $r$ 只、黑袜 $b$ 只（ $b\ge 1$ ），则

\mathbb{P}(\text{两只都红})=\frac{r}{r+b}\cdot\frac{r-1}{r+b-1}=\frac12.

(a) 最小总数：取 $b=1$ 时方程化简为

\frac{r-1}{r+1}=\frac12\Rightarrow r=3.

所以最小为 $\boxed{r=3,b=1}$ ，总数 4。

(b) 若要求黑袜数为偶数：试 $b=2,4$ 无整数解； $b=6$ 时

\frac{r}{r+6}\cdot\frac{r-1}{r+5}=\frac12 \Rightarrow r=15.

因此最小为 $\boxed{r=15,b=6}$ ，总数 21。