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不同偏置硬币

biased coins

专题
Probability / 概率
难度
L4

题目详情

概率题：不同偏置硬币：出现奇数个正面概率。

英文原题

You have nn biased coins with the kth coin having probability 1/(2k+1)1 / (2k + 1) of coming up heads. What is the probability of getting an odd number of heads in total?

解析

设第 kk 枚硬币正面概率为 pk=12k+1p_k=\frac{1}{2k+1}。令 pnp_n 表示抛完前 nn 枚后，正面总数为奇数的概率。

则

pn=pn−1(1−pn(coin))+(1−pn−1)pn(coin)=pn−1(1−12n+1)+(1−pn−1)12n+1.p_n=p_{n-1}(1-p_n^{(coin)})+(1-p_{n-1})p_n^{(coin)} =p_{n-1}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)+(1-p_{n-1})\frac{1}{2n+1}.

化简得

(2n+1)pn=(2n−1)pn−1+1.(2n+1)p_n=(2n-1)p_{n-1}+1.

令 an=(2n+1)pna_n=(2n+1)p_n，并取 p0=0p_0=0（没有硬币时正面数为 0 是偶数），则

an=an−1+1,a0=0⇒an=n.a_n=a_{n-1}+1,\quad a_0=0\Rightarrow a_n=n.

因此

pn=n2n+1.\boxed{p_n=\frac{n}{2n+1}}.

英文解析

pn=pn−1(1−pn(coin))+(1−pn−1)pn(coin)=pn−1(1−12n+1)+(1−pn−1)12n+1.p_n=p_{n-1}(1-p_n^{(coin)})+(1-p_{n-1})p_n^{(coin)} =p_{n-1}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)+(1-p_{n-1})\frac{1}{2n+1}. (2n+1)pn=(2n−1)pn−1+1.(2n+1)p_n=(2n-1)p_{n-1}+1. an=an−1+1,a0=0⇒an=n.a_n=a_{n-1}+1,\quad a_0=0\Rightarrow a_n=n. pn=n2n+1.\boxed{p_n=\frac{n}{2n+1}}.