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不定积分：∫sec⁡θ dθ\int \sec\theta\,d\theta

Easy integration question 8

专题
Finance / 金融
难度
L4

题目详情

What is ∫sec⁡θdθ\int \sec \theta d\theta equal to?

解析

常用技巧：乘以 sec⁡θ+tan⁡θsec⁡θ+tan⁡θ\frac{\sec\theta+\tan\theta}{\sec\theta+\tan\theta}：

∫sec⁡θ dθ=∫sec⁡θ(sec⁡θ+tan⁡θ)sec⁡θ+tan⁡θ dθ.\int\sec\theta\,d\theta =\int\frac{\sec\theta(\sec\theta+\tan\theta)}{\sec\theta+\tan\theta}\,d\theta.

注意 (sec⁡θ+tan⁡θ)′=sec⁡θtan⁡θ+sec⁡2θ=sec⁡θ(sec⁡θ+tan⁡θ)(\sec\theta+\tan\theta)'=\sec\theta\tan\theta+\sec^2\theta=\sec\theta(\sec\theta+\tan\theta)，因此

∫sec⁡θ dθ=ln⁡∣sec⁡θ+tan⁡θ∣+C.\boxed{\int\sec\theta\,d\theta=\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C}.