不定积分：∫(lnx)ndx\int (\ln x)^n dx∫(lnx)ndx Easy integration question 6 专题 General / 综合 难度 L4 来源 QuantQuestion 题目详情 Compute ∫(ln(x))ndx.\int (\ln (x))^n dx.∫(ln(x))ndx. 解析 设 In=∫(lnx)n dxI_n=\int (\ln x)^n\,dxIn=∫(lnx)ndx（x>0x>0x>0）。分部积分取 u=(lnx)n, dv=dxu=(\ln x)^n,\ dv=dxu=(lnx)n, dv=dx，得递推 In=x(lnx)n−nIn−1.I_n=x(\ln x)^n-nI_{n-1}.In=x(lnx)n−nIn−1. 因此 ∫(lnx)ndx=x∑k=0n(−1)kn!(n−k)!(lnx)n−k+C.\boxed{\int (\ln x)^n dx=x\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{n!}{(n-k)!}(\ln x)^{n-k}+C}.∫(lnx)ndx=xk=0∑n(−1)k(n−k)!n!(lnx)n−k+C.