不定积分：

设 $I_n=\int (\ln x)^n\,dx$（$x>0$）。分部积分取 $u=(\ln x)^n,\ dv=dx$，得递推

$$I_n=x(\ln x)^n-nI_{n-1}.$$

因此

$$\boxed{\int (\ln x)^n dx=x\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{n!}{(n-k)!}(\ln x)^{n-k}+C}.$$

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英文解析

Let $I_n=\int (\ln x)^n\,dx$ ($x>0$). Using integration by parts with$u=(\ln x)^n$and$dv=dx$, we obtain the recurrence relation

$$I_n=x(\ln x)^n-nI_{n-1}.$$

Thus

$$\boxed{\int (\ln x)^n dx=x\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\frac{n!}{(n-k)!}(\ln x)^{n-k}+C}.$$