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两红两绿两黄：最少称几次能找出三颗重球？

How many weighings on a scale are necessary to identify the three heavy balls

专题
Brainteaser / 脑筋急转弯
难度
L6

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有两颗红球、两颗绿球、两颗黄球。每种颜色中一颗是重的、另一颗是轻的。

所有重球重量相同，所有轻球重量相同。

用天平最少称几次，才能确定三种颜色各自哪一颗是重球？

We have two red, two green and two yellow balls. For each color, one ball is heavy and the other is light. All heavy balls weigh the same. All light balls weigh the same. How many weighings on a scale are necessary to identify the three heavy balls?

解析

每种颜色重球在两颗中二选一，共 23=82^3=8 种情况。一次称重只有 3 种结果，因此至少需要 ⌈log⁡38⌉=2\lceil\log_3 8\rceil=2 次称重。

下面给出一个用 2 次称重一定能确定的策略（可自适应）：

把每种颜色两球分别记为 R1,R2R_1,R_2，G1,G2G_1,G_2，Y1,Y2Y_1,Y_2。

第 1 次称重：称 R1+G1R_1+G_1（左）对 R2+Y1R_2+Y_1（右）。

记结果为：左重 / 平衡 / 右重。第二次称重按第 1 次结果选择：

  • 若第 1 次“左重”，则可能情况只有 3 种：

    1. R1,G1,Y1R_1,G_1,Y_1 为重；
    2. R1,G1,Y2R_1,G_1,Y_2 为重；
    3. R1,G2,Y2R_1,G_2,Y_2 为重。

    第 2 次称重：称 G1G_1（左）对 Y2Y_2（右）。

    • 左重：对应情况 1（G1G_1 重且 Y2Y_2 轻），重球为 R1,G1,Y1R_1,G_1,Y_1；
    • 平衡：对应情况 2（G1G_1 与 Y2Y_2 都重），重球为 R1,G1,Y2R_1,G_1,Y_2；
    • 右重：对应情况 3（G1G_1 轻且 Y2Y_2 重），重球为 R1,G2,Y2R_1,G_2,Y_2。

  • 若第 1 次“平衡”，则只可能是两种情况之一：

    1. R1,G2,Y1R_1,G_2,Y_1 为重；
    2. R2,G1,Y2R_2,G_1,Y_2 为重。

    第 2 次称重：称 R1R_1（左）对 R2R_2（右）。

    • 左重：重球为 R1,G2,Y1R_1,G_2,Y_1；
    • 右重：重球为 R2,G1,Y2R_2,G_1,Y_2。

  • 若第 1 次“右重”，则可能情况只有 3 种：

    1. R2,G1,Y1R_2,G_1,Y_1 为重；
    2. R2,G2,Y1R_2,G_2,Y_1 为重；
    3. R2,G2,Y2R_2,G_2,Y_2 为重。

    第 2 次称重：同样称 G1G_1（左）对 Y2Y_2（右）。

    • 左重：对应情况 1（G1G_1 重且 Y2Y_2 轻），重球为 R2,G1,Y1R_2,G_1,Y_1；
    • 平衡：对应情况 2（G1G_1 与 Y2Y_2 都轻），重球为 R2,G2,Y1R_2,G_2,Y_1；
    • 右重：对应情况 3（G1G_1 轻且 Y2Y_2 重），重球为 R2,G2,Y2R_2,G_2,Y_2。

因此 2 次称重既必要也足够。