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两袋黑白球

100 balls: 50 white and 50 black and two sacks.

专题
Brainteaser / 脑筋急转弯
难度
L2

题目详情

有 100 个球：50 个白球、50 个黑球，以及两只袋子。你可以任意把球分配到两只袋子里。

之后我会选择其中一只袋子（等概率）并从该袋随机摸出一个球：若摸到黑球我赢，摸到白球你赢。

你如何分配，才能使你赢（摸到白球）的概率最大？

英文原题

Let's play a game with 100 balls: 50 white and 50 black and two sacks. You can arrange the balls within the two sacks in any way you want. I then come into the room and pick a ball from one of the sacks. If I pick a black, I win; a white, you win. How do you arrange the balls such that you have the highest chance of winning?

解析

最优分配是：

  • 袋 1：放 1 个白球；
  • 袋 2：放剩余的 49 白 + 50 黑（共 99 个）。

则赢的概率为

12⋅1+12⋅4999=7499≈0.7475.\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot\frac{49}{99}=\frac{74}{99}\approx 0.7475.

这是经典最优解。

英文解析

The optimal allocation is:

  • Bag 1: Place 1 white ball;
  • Bag 2: Place the remaining 49 white + 50 black balls (totaling 99).

The probability of winning is

12⋅1+12⋅4999=7499≈0.7475.\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot\frac{49}{99}=\frac{74}{99}\approx 0.7475.

This is the classic optimal solution.