时钟问题：夹角与重合时间

clock problem

1）当时间为 3 点一刻（3:15）时，时针与分针夹角是多少度？

2）3PM 之后，时针与分针第一次完全重合是什么时候？

3）12 点之后，时针与分针第一次再次相遇是什么时候？

How many degrees (if any) are there in the angle between the hour and minute hands of a clock when the time is a quarter past three?
What is the first time after 3PM when the hour and minute hands of a clock are exactly on top of each other?
When is the first time after 12 o'clock that the hour and minute hands of a clock meet again?

解析

(1) 3:15 时：

夹角为 $|97.5-90|=\boxed{7.5^\circ}$ 。

(2) 设 3 点后经过 $m$ 分钟。

重合满足 $6m=90+0.5m$ ，即 $5.5m=90$ ，所以

m=\frac{180}{11}=16\frac{4}{11}\text{ 分钟}.

因此时间为 $\boxed{3:16:21\frac{9}{11}}$ （约 3:16:21.818）。

(3) 同理，12 点后经过 $m$ 分钟，时针角度 $0.5m$ 、分针角度 $6m$ ，除 $m=0$ 外下一次重合满足 $6m=0.5m+360$ ，得到

5.5m=360\Rightarrow m=\frac{720}{11}=65\frac{5}{11}\text{ 分钟},

即 $\boxed{1:05:27\frac{3}{11}}$ （约 1:05:27.273）。