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嵌套随机和的方差

Variance of a Nested Random Sum

专题
Probability / 概率
难度
L4

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定义随机变量

X=∑i=1∞Ui,X=\sum_{i=1}^{\infty} U_i,

其中 UiU_i 相互独立且 Ui∼Uniform(0,1/2i)U_i\sim\mathrm{Uniform}(0,1/2^i)。求 XX 的方差。

英文原题

Define a random variable XX as the infinite sum of independent random variables UiU_i, where Ui∼Uniform(0,1/2i)U_i \sim \text{Uniform}(0, 1/2^i). That is, X=∑i=1∞UiX = \sum_{i=1}^{\infty} U_i. What is the variance of XX?

解析

独立可加方差：

Var(X)=∑i=1∞Var(Ui).\mathrm{Var}(X)=\sum_{i=1}^{\infty}\mathrm{Var}(U_i).

若 U∼Unif(0,a)U\sim\mathrm{Unif}(0,a)，则 Var(U)=a2/12\mathrm{Var}(U)=a^2/12。这里 a=2−ia=2^{-i}，所以

Var(Ui)=(2−i)212=112⋅4i.\mathrm{Var}(U_i)=\frac{(2^{-i})^2}{12}=\frac{1}{12\cdot 4^i}.

因此

Var(X)=112∑i=1∞14i=112⋅141−14=112⋅13=136.\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{12}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{4^i}=\frac{1}{12}\cdot \frac{\frac14}{1-\frac14}=\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{3}=\boxed{\frac{1}{36}}.

英文解析

Independent additive variances:
Var(X)=∑i=1∞Var(Ui).\mathrm{Var}(X)=\sum_{i=1}^{\infty}\mathrm{Var}(U_i).
If U∼Unif(0,a)U\sim\mathrm{Unif}(0,a), then Var(U)=a2/12\mathrm{Var}(U)=a^2/12. Here a=2−ia=2^{-i}, so
Var(Ui)=(2−i)212=112⋅4i.\mathrm{Var}(U_i)=\frac{(2^{-i})^2}{12}=\frac{1}{12\cdot 4^i}.
Therefore
Var(X)=112∑i=1∞14i=112⋅141−14=112⋅13=136.\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{12}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{4^i}=\frac{1}{12}\cdot \frac{\frac14}{1-\frac14}=\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{3}=\boxed{\frac{1}{36}}.