硬币偏置的贝叶斯估计

Bayesian Estimate of a Coin's Bias

专题: Probability / 概率
难度: L4
来源: QuantQuestion

题目详情

一枚硬币正面概率为未知参数 $\theta$ 。你对 $\theta$ 的先验为 $[0,1]$ 上的均匀分布。

掷硬币 10 次，观察到 6 次正面。求 $\theta$ 的贝叶斯估计（后验均值）。

You have a coin with an unknown probability of heads, $\theta$ . You assume a uniform prior distribution for $\theta$ over $[0,1]$ . After tossing the coin 10 times, you observe 6 heads. What is the Bayesian estimate (posterior mean) of $\theta$ ?

解析

均匀先验等价于 $\theta\sim\mathrm{Beta}(1,1)$ 。

观察到 6 次正面、4 次反面后，后验为

\theta\mid \text{data}\sim \mathrm{Beta}(1+6,\ 1+4)=\mathrm{Beta}(7,5).

Beta $(\alpha,\beta)$ 的均值为 $\alpha/(\alpha+\beta)$ ，因此

\mathbb{E}[\theta\mid \text{data}]=\frac{7}{7+5}=\boxed{\frac{7}{12}}\approx 0.5833.