最小化期望绝对偏差：最优常数

令 $F$ 为 $X$ 的分布函数。考虑目标函数

$$\phi(c)=\mathbb{E}[|X-c|]=\int_{-\infty}^{\infty}|x-c|f(x)\,dx.$$

对连续分布可对 $c$ 求导（或用次梯度），得到

$$\phi'(c)=\mathbb{P}(X\le c)-\mathbb{P}(X\ge c)=2F(c)-1.$$

最小点满足 $\phi'(c)=0$，即 $F(c)=1/2$。

因此使 $\mathbb{E}[|X-c|]$ 最小的 $c$ 是 $X$ 的任一中位数：

$$\boxed{c\in\{m: F(m)=1/2\}}.$$

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英文解析

Let $F$ be the cumulative distribution function of $X$. Consider the objective function

$$\phi(c)=\mathbb{E}[|X-c|]=\int_{-\infty}^{\infty}|x-c|f(x)\,dx.$$

For a continuous distribution, we can differentiate $\phi$ with respect to $c$ (or use the subgradient), yielding

$$\phi'(c)=\mathbb{P}(X\le c)-\mathbb{P}(X\ge c)=2F(c)-1.$$

The minimizer satisfies $\phi'(c)=0$, which implies $F(c)=1/2$.

Thus, the value of $c$ that minimizes $\mathbb{E}[|X-c|]$ is any median of $X$:

$$\boxed{c\in\{m: F(m)=1/2\}}.$$