最小化期望绝对偏差：最优常数

Minimizing Expected Absolute Deviation

专题: Probability / 概率
难度: L4
来源: QuantQuestion

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对具有密度 $f(x)$ 的连续随机变量 $X$ ，哪个常数 $c$ 能最小化期望绝对偏差 $\mathbb{E}[|X-c|]$ ？

For a continuous random variable $X$ with probability density function $f(x)$ , what value of the constant $c$ minimizes the expected absolute deviation, $\mathbb{E}[|X - c|]$ ?

解析

令 $F$ 为 $X$ 的分布函数。考虑目标函数

\phi(c)=\mathbb{E}[|X-c|]=\int_{-\infty}^{\infty}|x-c|f(x)\,dx.

对连续分布可对 $c$ 求导（或用次梯度），得到

\phi'(c)=\mathbb{P}(X\le c)-\mathbb{P}(X\ge c)=2F(c)-1.

最小点满足 $\phi'(c)=0$ ，即 $F(c)=1/2$ 。

因此使 $\mathbb{E}[|X-c|]$ 最小的 $c$ 是 $X$ 的任一中位数：

\boxed{c\in\{m: F(m)=1/2\}}.