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你能尝出 M&M 的颜色吗？

Can You Taste the Color of M&Ms?

专题
Statistics / 统计
难度
L4

题目详情

有人声称可以通过味道分辨 M&M 的颜色（共有 5 种颜色）。

  • 实验 1：品尝 3 颗，答对 2 颗。
  • 实验 2：品尝 100 颗，答对 40 颗。

分别就两次实验，你能对其主张得出什么结论？

A person claims they can distinguish the color of M&M's by taste. There are 5 colors.

  • In a first experiment, they taste 3 beans and get 2 correct.
  • In a second experiment, they taste 100 beans and get 40 correct. What can you conclude about their claim in each case?
解析

把“随机猜测”作为原假设 H0H_0：每次答对的概率 p=1/5=0.2p=1/5=0.2，且各次独立，则正确数 X∼Bin(n,0.2)X\sim\mathrm{Bin}(n,0.2)。

实验 1（n=3,k=2）：计算在随机猜测下至少答对 2 次的概率（p 值）

P(X≥2)=(32)(0.2)2(0.8)+(0.2)3=0.104.\mathbb{P}(X\ge 2)=\binom{3}{2}(0.2)^2(0.8)+(0.2)^3=0.104.

该概率并不小，因此样本太少，无法据此认为他真的能凭味道辨色。

实验 2（n=100,k=40）：在 H0H_0 下期望为 E[X]=20\mathbb{E}[X]=20，标准差为

np(1−p)=100⋅0.2⋅0.8=4.\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{100\cdot 0.2\cdot 0.8}=4.

观测到 40 比期望高出 20，相当于约 5 个标准差，p 值极小（远小于 0.001）。

因此第二次实验对“随机猜测”提供了很强的反证：从统计角度应认为其辨色能力显著高于瞎猜（当然也需要排除作弊或实验设计漏洞）。