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等相关系数的上下界

Bounds of Pairwise Correlation

专题
Probability / 概率
难度
L4

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有 NN 个随机变量 x1,x2,…,xNx_1,x_2,\dots,x_N，它们方差相同，且任意两两之间的相关系数都等于 ρ\rho。求 ρ\rho 的上界与下界。

NN random variables x1,x2,…,xNx_1, x_2, \dots, x_N have the same variance and the same pairwise correlation ρ\rho. Find the upper and lower bounds for ρ\rho.

解析

不妨标准化使得每个变量均值为 0、方差为 1。则协方差矩阵为等相关矩阵

Σ=(1−ρ)I+ρJ,\Sigma=(1-\rho)I+\rho J,

其中 II 为单位阵，JJ 为全 1 矩阵。

JJ 的特征值为：NN（重数 1，对应全 1 向量）与 0（重数 N−1N-1）。因此 Σ\Sigma 的特征值为

λ1=1+(N−1)ρ,λ2=1−ρ (重数 N−1).\lambda_1=1+(N-1)\rho,\quad \lambda_2=1-\rho \ \text{(重数 }N-1\text{)}.

协方差矩阵必须半正定，所以两类特征值都要非负：

1+(N−1)ρ≥0⇒ρ≥−1N−1,1−ρ≥0⇒ρ≤1.1+(N-1)\rho\ge 0\Rightarrow \rho\ge -\frac{1}{N-1},\qquad 1-\rho\ge 0\Rightarrow \rho\le 1.

因此

−1N−1≤ρ≤1.\boxed{-\frac{1}{N-1}\le \rho\le 1}.