至少一次落入 [0.5,0.55] 的样本量

Probability of Generating Values in a Specific Interval

专题: Probability / 概率
难度: L4
来源: QuantQuestion

题目详情

要生成多少个在 $[0,1]$ 上独立均匀分布的随机变量，才能保证以 95% 的概率至少有一个落在区间 $[0.5,0.55]$ 内？

How many independent random variables with uniform distribution on $[0,1]$ must be generated to ensure with 95% probability that at least one of them is between 0.5 and 0.55?

解析

单个样本落入区间 $[0.5,0.55]$ 的概率为区间长度 $p=0.05$ 。

生成 $n$ 个独立样本，至少一个落入区间的概率为

1-(1-p)^n=1-0.95^n.

要求 $1-0.95^n\ge 0.95$ ，即

0.95^n\le 0.05 \Rightarrow n\ge \frac{\ln 0.05}{\ln 0.95}\approx 58.4.

取最小整数得 $\boxed{n=59}$ 。