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标准正态的前四阶矩

Moments of Standard Normal

专题
Probability / 概率
难度
L4

题目详情

若 X∼N(0,1)X\sim N(0,1)，求 E[Xn]E[X^n]，其中 n=1,2,3,4n=1,2,3,4。

If X∼N(0,1)X\sim N(0,1), what are E[Xn]E[X^n] for n=1,2,3,4n=1,2,3,4?

解析

标准正态分布的前四阶矩为：

  • E[X]=0E[X]=0，
  • E[X2]=1E[X^2]=1，
  • E[X3]=0E[X^3]=0，
  • E[X4]=3E[X^4]=3。

可由对称性（奇次矩为 0）与矩母函数/积分计算得到。

Original Explanation

For a standard normal distribution, the first four moments are:

  • E[X]=0,E[X] = 0,
  • E[X2]=1,E[X^2] = 1,
  • E[X3]=0,E[X^3] = 0,
  • E[X4]=3.E[X^4] = 3.

These can be derived via the moment generating function (mgf).