PUMaC 2012 · 代数（A 组） · 第 8 题

PUMaC 2012 — Algebra (Division A) — Problem 8

[ 8 ] If n is an integer such that n ≥ 2 and n < 2 , where k = 1000, compute the following: ( ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ) 0 1 k − 1 n − 2 n − 2 n − 2 n − + + · · · + . 1 2 k 2 2 2 1

解析

[ 8 ] If n is an integer such that n ≥ 2 and n < 2 , where k = 1000, compute the following: ( ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ) 0 1 k − 1 n − 2 n − 2 n − 2 n − + + · · · + . 1 2 k 2 2 2 k +1 n − 1 n − 2 n − 2 Solution: Let us prove that b c + b c + ... + b c = n − k − 1. 2 k 2 2 2 n − 1 k k − 1 k − 1 If we write n = 2 + a 2 + ... + a 2 + a , then b c = 2 + a 2 + ... + a + a − 1, k − 1 1 0 k − 1 k − 2 1 0 2 k − 1 n − 2 n − 2 k − 2 k − 3 b c = 2 + a 2 + ... + a − 1, ..., b c = 1 + a − 1. 2 k − 1 1 k k − 1 2 2 By adding all the terms, we obtain: k i − 1 ∑ n − 2 k − 1 k − 2 b c = (1 + 2 + ... + 2 ) + a (1 + 2 + ... + 2 + ... k − 1 i 2 i =1 ... + a + ( a − 1) + ( a − 1) + ... + ( a − 1) 1 k − 1 k − 2 0 k k − 1 = 2 − 1 + a (2 − 1) + ... + a + ( a + a + ... + a ) − k − 1 k − 1 1 k − 1 k − 2 0 k k − 1 = 2 + a 2 + ... + a 2 + a − k − 1 = n − k − 1 k − 1 1 0 Thus the answer is k + 1 or 1001. Answer: 1001 5