HMMT 十一月 2025 · 冲刺赛 · 第 15 题

HMMT November 2025 — Guts Round — Problem 15

[9] Compute ∞ X 1 1 1 1 = + + + · · · . 1 1 2 2 3 3 k k 2 − 2 2 − 2 2 − 2 2 − 2 2 − 2 2 − 2 2 − 2 2 − 2 k =1 © 2025 HMMT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . HMMT November 2025, November 08, 2025 — GUTS ROUND Organization Team Team ID# 5

解析

[9] Compute ∞ X 1 1 1 1 = + + + · · · . k k 1 1 2 2 3 3 2 − 2 2 − 2 2 − 2 2 − 2 2 − 2 2 − 2 2 − 2 2 − 2 k =1 Proposed by: Jacopo Rizzo 1 Answer: 3 Solution: Note that for all real numbers a , 1 1 1 = − . − 1 2 a − a a − 1 a − 1 n 2 Plugging in a = 2 , we obtain 1 1 1 = − . n n n n +1 2 − 2 2 2 2 − 2 2 − 1 2 − 1 Thus, the n -th partial sum is n X 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + · · · + − n k k 1 2 2 3 n +1 2 2 − 2 2 2 2 2 2 2 − 1 2 − 1 2 − 1 2 − 1 2 − 1 2 − 2 2 − 1 k =1 1 1 = − . 1 n +1 2 2 2 − 1 2 − 1 n +1 2 As n → ∞ , we have 1 / (2 − 1) → 0, which implies that ∞ X 1 1 1 = = . k k 1 2 − 2 2 2 − 1 3 2 − 2 k =1 5