HMMT 二月 2016 · 冲刺赛 · 第 23 题

HMMT February 2016 — Guts Round — Problem 23

[ 12 ] Let t = 2016 and p = ln 2. Evaluate in closed form the sum ( ) ∞ k − 1 − t n ∑ ∑ e t k − 1 1 − (1 − p ) p. n ! k =1 n =0 √ CA ◦ 1

解析

[ 12 ] Let t = 2016 and p = ln 2. Evaluate in closed form the sum ( ) ∞ k − 1 − t n ∑ ∑ e t k − 1 1 − (1 − p ) p. n ! n =0 k =1 Proposed by: Aaron Landesman ( ) 2016 1 Answer: 1 − 2 Let q = 1 − p . Then ( ) ∞ k − 1 ∞ ∞ k − 1 − t n − t n ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ e t e t k − 1 k − 1 k − 1 1 − q p = q p − q p n ! n ! n =0 n =0 k =1 k =1 k =1 ∞ k − 1 − t n ∑ ∑ e t k − 1 = 1 − q p n ! k =1 n =0 ∞ ∞ − t n ∑ ∑ e t k − 1 = 1 − q p n ! n =0 k = n +1 ∞ − t n ∑ e t n = 1 − q n ! n =0 ∞ − t n ∑ e ( qt ) − t qt − pt = 1 − = 1 − e e = 1 − e . n ! n =0 ( ) 2016 1 Thus the answer is 1 − . 2 √ CA ◦ 1