HMMT 二月 2016 · 冲刺赛 · 第 23 题
HMMT February 2016 — Guts Round — Problem 23
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英文原题
- [ 12 ] Let t = 2016 and p = ln 2. Evaluate in closed form the sum
( )
∞ k − 1 − t n
∑ ∑
e tk − 1
1 − (1 − p ) p.
n !
k =1 n =0
√
°CA 1
解析
英文解析
- [ 12 ] Let t = 2016 and p = ln 2. Evaluate in closed form the sum
( )
∞ k − 1 − t n
∑ ∑
e tk − 1
1 − (1 − p ) p.
n !
n =0
k =1
Proposed by: Aaron Landesman
( )
2016
Answer: 1 −1
Let q = 1 − p . Then 2
( )
∞ k − 1 ∞ ∞ k − 1 − t n − t n
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
e t e tk − 1 k − 1 k − 1
1 − q p = q p − q pn ! n !
n =0 n =0
k =1 k =1 k =1
∞ k − 1 − t n
∑ ∑
e tk − 1 = 1 − q pn !
k =1 n =0
∞ ∞
− t n
∑ ∑
e tk − 1 = 1 − q pn !
n =0 k = n +1
∞
− t n
∑
e tn = 1 − qn !
n =0
∞
− t n
∑
e ( qt ) − t qt − pt = 1 − = 1 − e e = 1 − e .
n !
n =0
( )
2016
Thus the answer is 1 − .1
√2
°CA 1