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HMMT 十一月 2012 · 冲刺赛 · 第 6 题

HMMT November 2012 — Guts Round — Problem 6

专题
Contest Math / 竞赛数学
难度
L3
来源
HMMT

题目详情

英文原题

  1. [ 6 ] Given the following formulas:
    n ( n + 1)
    1 + 2 + · · · + n =
    n ( n + 1)(2 n + 1)2
    2 2 2
    1 + 2 + · · · + n =
    ( )6
    n ( n + 1)2
    3 3 3
    1 + 2 + · · · + n = ,
    find 2
    3 2 3 2 3 2
    (1 + 3 · 1 + 3 · 1) + (2 + 3 · 2 + 3 · 2) + · · · + (99 + 3 · 99 + 3 · 99) .
    HMMT NOVEMBER 2012, 10 NOVEMBER 2012 — GUTS ROUND
    2 2 3
解析

英文解析

  1. [ 6 ]
    Answer: 25502400
    3 2 3 2 3 2
    (1 + 3 · 1 + 3 · 1) + (2 + 3 · 2 + 3 · 2) + · · · + (99 + 3 · 99 + 3 · 99)
    3 2 3 2 3 2 = (1 + 3 · 1 + 3 · 1 + 1) + (2 + 3 · 2 + 3 · 2 + 1) + · · · + (99 + 3 · 99 + 3 · 99 + 1) − 99
    3 3 3 = (1 + 1) + (2 + 1) + ... (99 + 1) − 99
    3 3 3 3 = 1 + (1 + 1) + (2 + 1) + ... (99 + 1) − 100
    ( )
    100(100 + 1)2 = − 100 = 255024002
    Guts Round