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HMMT 二月 2010 · TEAM2 赛 · 第 5 题

HMMT February 2010 — TEAM2 Round — Problem 5

专题
Contest Math / 竞赛数学
难度
L3
来源
HMMT

题目详情

英文原题

  1. [ 25 ] Compute
    ∑98
    2 1
    √ + √ √ .
    √
    n + n + 2 n + 1 + n + 2
    n =1
解析

英文解析

  1. [ 25 ] Compute
    ∑98
    2 1
    √ √ √
    √ + .
    n + n + 2 n + 1 + n + 2
    n =1
    √ √
    Answer: 3 11 − 2 2 + 19 Rationalizing the denominator of both terms in the summation yields
    ∑98
    √ √
    √ √ √ √ √
    √
    √ √
    n + 2 − n + n + 2 − n + 1 = 2 n + 2 − ( n + n + 1). Then the sum 2 n + 2 − ( n + n + 1)
    n =1
    √ √ √ √ √ √ √ √
    telescopes. All terms cancel except for − ( 1 + 2) − 2 + 2 99 + 2 100 − 99 = 3 11 − 2 2 + 19.