HMMT 二月 2010 · CALC 赛 · 第 8 题
HMMT February 2010 — CALC Round — Problem 8
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英文原题
- [ 6 ] Let f ( n ) = . Calculate f ( n ).
k · k !nk =2 n =2
解析
英文解析
- [ 6 ] Let f ( n ) = . Calculate f ( n ).
k · k !nk =2 n =2
Answer: 3 − e
∞ ∞ ∞
∑ ∑ ∑
f ( n ) =1
k · k !nn =2 n =2
k =2
∞ ∞
∑ ∑
1 1
n=
k ! kn =2
k =2
∞
∑
1 1 = ·
k ! k ( k − 1)
k =2
∞
∑
1 1 = ·
( k − 1)! k ( k − 1)2
k =2
Calculus Subject Test
( )
∞
∑
1 1 1 1 = − −
( k − 1)! k − 1 k k 2
k =2
( )
∞
∑
1 1 1 = − −
( k − 1)( k − 1)! k · k ! k !
k =2
( )
∞ ∞
∑ ∑
1 1 1 = − −
( k − 1)( k − 1)! k · k ! k !
k =2 k =2
( )
1 1 1 = − e − −
1 · 1! 0! 1!
= 3 − e