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HMMT 二月 2010 · CALC 赛 · 第 8 题

HMMT February 2010 — CALC Round — Problem 8

专题
Discrete Math / 离散数学
难度
L3
来源
HMMT

题目详情

  1. [ 6 ] Let f ( n ) = . Calculate f ( n ). n k · k ! k =2 n =2
解析
  1. [ 6 ] Let f ( n ) = . Calculate f ( n ). n k · k ! k =2 n =2 Answer: 3 − e ∞ ∞ ∞ ∑ ∑ ∑ 1 f ( n ) = n k · k ! n =2 n =2 k =2 ∞ ∞ ∑ ∑ 1 1 = n k ! k n =2 k =2 ∞ ∑ 1 1 = · k ! k ( k − 1) k =2 ∞ ∑ 1 1 = · 2 ( k − 1)! k ( k − 1) k =2 Calculus Subject Test ( ) ∞ ∑ 1 1 1 1 = − − 2 ( k − 1)! k − 1 k k k =2 ( ) ∞ ∑ 1 1 1 = − − ( k − 1)( k − 1)! k · k ! k ! k =2 ( ) ∞ ∞ ∑ ∑ 1 1 1 = − − ( k − 1)( k − 1)! k · k ! k ! k =2 k =2 ( ) 1 1 1 = − e − − 1 · 1! 0! 1! = 3 − e