HMMT 二月 2010 · 代数 · 第 7 题
HMMT February 2010 — Algebra — Problem 7
题目详情
- [ 5 ] Let a , b , c , x , y , and z be complex numbers such that b + c c + a a + b a = , b = , c = . x − 2 y − 2 z − 2 If xy + yz + zx = 67 and x + y + z = 2010, find the value of xyz .
解析
- [ 5 ] Let a , b , c , x , y , and z be complex numbers such that b + c c + a a + b a = , b = , c = . x − 2 y − 2 z − 2 If xy + yz + zx = 67 and x + y + z = 2010, find the value of xyz . b + c Answer: − 5892 Manipulate the equations to get a common denominator: a = = ⇒ x − 2 = x − 2 b + c a + b + c 1 a 1 b 1 c = ⇒ x − 1 = = ⇒ = ; similarly, = and = . Thus a a x − 1 a + b + c y − 1 a + b + c z − 1 a + b + c 1 1 1
-
- = 1 x − 1 y − 1 z − 1 ( y − 1)( z − 1) + ( x − 1)( z − 1) + ( x − 1)( y − 1) = ( x − 1)( y − 1)( z − 1) xy + yz + zx − 2( x + y + z ) + 3 = xyz − ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) − 1 xyz − 2( xy + yz + zx ) + 3( x + y + z ) − 4 = 0 xyz − 2(67) + 3(2010) − 4 = 0 xyz = − 5892