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HMMT 二月 2007 · CALC 赛 · 第 7 题

HMMT February 2007 — CALC Round — Problem 7

专题
Discrete Math / 离散数学
难度
L3
来源
HMMT

题目详情

  1. [ 5 ] Compute ∞ ∑ 1 . n · ( n + 1) · ( n + 1)! n =1 2006 ∑ ( ) 1 2007 th
解析
  1. [ 5 ] Compute ∞ ∑ 1 . n · ( n + 1) · ( n + 1)! n =1 Answer: 3 − e . We write ( ) ∞ ∞ ∞ ∞ ∑ ∑ ∑ ∑ 1 1 1 1 1 1 = − = − n · ( n + 1) · ( n + 1)! n n + 1 ( n + 1)! n · ( n + 1)! ( n + 1) · ( n + 1)! n =1 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∑ ∑ ∑ 1 1 1 1 1 1
  • − = + − 2 n · ( n + 1)! ( n + 1) · ( n + 1)! 2 ( n + 1) · ( n + 2)! ( n + 1) · ( n + 1)! n =2 n =1 n =1 ( ) ( ) ∞ ∑ 1 1 − ( n + 2) 1 1 1 1 1 1
  • = − + + · · · = 3 − + + + · · · = 3 − e. 2 ( n + 1) · ( n + 2)! 2 3! 4! 0! 1! 2! n =1 Alternatively, but with considerably less motivation, we can induce telescoping by adding and sub- tracting e − 2 = 1 / 2! + 1 / 3! + · · · , obtaining ∞ ∞ 2 ∑ ∑ n ( n + 1) + 1 ( n + 1) − n 2 − e + = 2 − e + n · ( n + 1) · ( n + 1)! n · ( n + 1) · ( n + 1)! n =1 n =1 ∞ ∑ 1 1 2 − e + − = 3 − e. n · n ! ( n + 1) · ( n + 1)! n =1 2006 ∑ ( ) 1 2007 th