HMMT 二月 2007 · CALC 赛 · 第 7 题

英文解析

7. [ 5 ] Compute
   ∞
   ∑
   .1
   n · ( n + 1) · ( n + 1)!
   n =1
   Answer: 3 − e . We write
   ( )
   ∞ ∞ ∞ ∞
   ∑ ∑ ∑ ∑
   1 1 1 1 1 1 = − = −
   n · ( n + 1) · ( n + 1)! n n + 1 ( n + 1)! n · ( n + 1)! ( n + 1) · ( n + 1)!
   n =1 n =1 n =1 n =1
   ∞ ∞ ∞
   ∑ ∑ ∑
   1 1 1 1 1 1 + − = + −
   2 n · ( n + 1)! ( n + 1) · ( n + 1)! 2 ( n + 1) · ( n + 2)! ( n + 1) · ( n + 1)!
   n =2 n =1 n =1
   ( ) ( )
   ∞
   ∑
   1 1 − ( n + 2) 1 1 1 1 1 1 + = − + + · · · = 3 − + + + · · · = 3 − e.
   2 ( n + 1) · ( n + 2)! 2 3! 4! 0! 1! 2!
   n =1
   Alternatively, but with considerably less motivation, we can induce telescoping by adding and subtracting e − 2 = 1 / 2! + 1 / 3! + · · · , obtaining
   ∞ ∞
   ∑ ∑2
   n ( n + 1) + 1 ( n + 1) − n
   2 − e + = 2 − e +
   n · ( n + 1) · ( n + 1)! n · ( n + 1) · ( n + 1)!
   n =1 n =1
   ∞
   ∑
   1 1
   2 − e + − = 3 − e.
   n · n ! ( n + 1) · ( n + 1)!
   n =1
   2006
   ∑
   ( )
   20071
   th