HMMT 二月 2006 · 冲刺赛 · 第 37 题

英文解析

37. Compute
    ∞
    ∑
    2 n + 5
    n 3 2
    2 · ( n + 7 n + 14 n + 8)
    n =1
    Answer: − 8 ln 2137
    Solution: First, we manipulate using partial fractions and telescoping:24
    ( )
    ∞ ∞
    ∑ ∑
    2 n + 5 1 1 2 1 1 = · − −
    n 3 2 n
    2 · ( n + 7 n + 14 n + 8) 2 2 n + 1 n + 2 n + 4
    n =1 n =1
    ∞
    ∑
    1 1 1 = −
    4 2 2 · ( n + 4)nn =1
    ∑
    ∞nr
    Now, consider the function f ( r, k ) := . We havekn =1
    [ ]n
    ∞ ∞ ∞
    n n n − 1
    ∑ ∑ ∑
    ∂f ( r, k ) ∂ r ∂ r r 1 = = = = f ( r, k − 1)
    k k k − 1
    ∂r ∂r n ∂r n n rn =1 n =1 n =1
    ∞
    ∑ndf ( r, 1) 1 r 1 r 1 = = · =
    dr r n r 1 − r 1 − r 0
    n =1
    ∫
    f ( r, 1) = = − ln(1 − r ) + f (0 , 1)dr
    1 − r
    ( )
    ∑
    ∞
    1 1
    By inspection, f (0 , 1) = 0, so f , 1 = = ln(2). It is easy to compute thenn =1
    2 n · 2
    ( )
    ∑
    ∞
    1 1 131
    desired sum in terms of f , 1 , and we find = 16 ln(2) − . Hence, ournn =1
    2 2 ( n +4) 12
    final answer is − 8 ln(2).137
    24