HMMT 二月 2006 · CALC 赛 · 第 8 题
HMMT February 2006 — CALC Round — Problem 8
题目详情
英文原题
- Compute x tan ( x ) dx. 0
解析
英文解析
- Compute
∫
π/ 3
x tan ( x ) dx 2
√0
π 3 π2
Answer: − − ln 2
3 18
Solution: We have
( )
∫ ∫
π/ 3 π/ 3
x tan ( x ) dx = x − 1 + dx 21
cos ( x )2
0 0
∣
∫
π/ 3
π/ 3
∣2
x xdx
∣
= − +
∣
2 cos ( x )2
( )00
∣ ∣
∫
π/ 3 π/ 3
π/ 3
∣ ∣2
x dx
∣ ∣
= − + x tan( x ) − tan( x ) dx ( u = x ; dv = )
∣ ∣
2 cos ( x )2
0 00
√
∣
π/ 3
2 2
∣
x π π 3
∣
= − + x tan( x ) + ln | cos( x ) | = − + − ln(2)
∣
2 18 3 0