HMMT 二月 2005 · 冲刺赛 · 第 37 题

HMMT February 2005 — Guts Round — Problem 37

[15] Let a , a , . . . , a be real numbers such that 1 2 2005 a · 1 + a · 2 + a · 3 + · · · + a · 2005 = 0 1 2 3 2005 2 2 2 2 a · 1 + a · 2 + a · 3 + · · · + a · 2005 = 0 1 2 3 2005 3 3 3 3 a · 1 + a · 2 + a · 3 + · · · + a · 2005 = 0 1 2 3 2005 . . . 2004 2004 2004 2004 a · 1 + a · 2 + a · 3 + · · · + a · 2005 = 0 1 2 3 2005 and 2005 2005 2005 2005 a · 1 + a · 2 + a · 3 + · · · + a · 2005 = 1 . 1 2 3 2005 What is the value of a ? 1

解析

Let a , a , . . . , a be real numbers such that 1 2 2005 a · 1 + a · 2 + a · 3 + · · · + a · 2005 = 0 1 2 3 2005 2 2 2 2 a · 1 + a · 2 + a · 3 + · · · + a · 2005 = 0 1 2 3 2005 3 3 3 3 a · 1 + a · 2 + a · 3 + · · · + a · 2005 = 0 1 2 3 2005 . . . . . . . . . . . . . . . 2004 2004 2004 2004 a · 1 + a · 2 + a · 3 + · · · + a · 2005 = 0 1 2 3 2005 and 2005 2005 2005 2005 a · 1 + a · 2 + a · 3 + · · · + a · 2005 = 1 . 1 2 3 2005 What is the value of a ? 1 Solution: 1 / 2004! The polynomial p ( x ) = x ( x − 2)( x − 3) · · · ( x − 2005) / 2004! has zero constant term, has the numbers 2 , 3 , . . . , 2005 as roots, and satisfies p (1) = 1. Multiplying the n th n equation by the coefficient of x in the polynomial p ( x ) and summing over all n gives a p (1) + a p (2) + a p (3) + · · · + a p (2005) = 1 / 2004! 1 2 3 2005 (since the leading coefficient is 1 / 2004!). The left side just reduces to a , so 1 / 2004! is 1 the answer. 14