HMMT 二月 2005 · 冲刺赛 · 第 37 题

英文解析

37. Let a , a , . . . , a be real numbers such that
    1 2 2005
    a · 1 + a · 2 + a · 3 + · · · + a · 2005 = 0
    1 2 3 2005
    2 2 2 2
    a · 1 + a · 2 + a · 3 + · · · + a · 2005 = 0
    1 2 3 2005
    3 3 3 3
    a · 1 + a · 2 + a · 3 + · · · + a · 2005 = 0
    1 2 3 2005
    . . . . .
    . . . . .
    . . . . .
    2004 2004 2004 2004
    a · 1 + a · 2 + a · 3 + · · · + a · 2005 = 0
    1 2 3 2005
    2005 2005 2005 2005 anda · 1 + a · 2 + a · 3 + · · · + a · 2005 = 1 .
    1 2 3 2005
    What is the value of a ?
    Solution: 1 / 2004!1
    The polynomial p ( x ) = x ( x − 2)( x − 3) · · · ( x − 2005) / 2004! has zero constant term,
    has the numbers 2 , 3 , . . . , 2005 as roots, and satisfies p (1) = 1. Multiplying the n thnequation by the coefficient of x in the polynomial p ( x ) and summing over all n givesa p (1) + a p (2) + a p (3) + · · · + a p (2005) = 1 / 2004!
    1 2 3 2005
    (since the leading coefficient is 1 / 2004!). The left side just reduces to a , so 1 / 2004! isthe answer.1
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