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HMMT 二月 2005 · 冲刺赛 · 第 3 题

HMMT February 2005 — Guts Round — Problem 3

专题
Discrete Math / 离散数学
难度
L3
来源
HMMT

题目详情

  1. [5] Find the sum 1 2 4 8 2 2 2 2
        • · · · . 1 2 4 8 4 − 1 4 − 1 4 − 1 4 − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . HARVARD-MIT MATHEMATICS TOURNAMENT, FEBRUARY 19, 2005 — GUTS ROUND
解析
  1. Find the sum 1 2 4 8 2 2 2 2
        • · · · . 1 2 4 8 4 − 1 4 − 1 4 − 1 4 − 1 Solution: 1 Notice that k k 2 2 2 2 + 1 1 1 1 1 1 = − = − = − . k k k k k k − 1 k 2 2 2 2 2 2 2 4 − 1 4 − 1 4 − 1 2 − 1 4 − 1 4 − 1 4 − 1 Therefore, the sum telescopes as ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 − + − + − + · · · − 1 0 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 4 − 1 4 − 1 4 − 1 4 − 1 4 − 1 4 − 1 − 1 2 and evaluates to 1 / (4 − 1) = 1.