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HMMT 二月 2005 · 冲刺赛 · 第 3 题

HMMT February 2005 — Guts Round — Problem 3

专题
Contest Math / 竞赛数学
难度
L3
来源
HMMT

题目详情

  1. [5] Find the sum
    1 2 4 8
    2 2 2 2 + + + + · · · .
    1 2 4 8
    4 − 1 4 − 1 4 − 1 4 − 1
    HARVARD-MIT MATHEMATICS TOURNAMENT, FEBRUARY 19, 2005 — GUTS ROUND

英文原题

[5] Find the sum
2 1
4 1 − 1 + 2 2
4 2 − 1 + 2 4
4 4 − 1 + 2 8
4 8 − 1 + · · · .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
HARVARD-MIT MATHEMATICS TOURNAMENT, FEBRUARY 19, 2005 — GUTS ROUND

解析

英文解析

  1. Find the sum
    1 2 4 8
    2 2 2 2 + + + + · · · .
    1 2 4 8
    4 − 1 4 − 1 4 − 1 4 − 1
    Solution: 1
    Notice thatk k
    2 2
    2 2 + 1 1 1 1 1 1 = − = − = − .
    k k k k k k − 1 k
    2 2 2 2 2 2 2
    4 − 1 4 − 1 4 − 1 2 − 1 4 − 1 4 − 1 4 − 1
    Therefore, the sum telescopes as
    ( ) ( ) ( )
    1 1 1 1 1 1 − + − + − + · · ·
    − 1 0 0 1 1 2
    2 2 2 2 2 2
    4 − 1 4 − 1 4 − 1 4 − 1 4 − 1 4 − 1 − 1
    and evaluates to 1 / (4 − 1) = 1.2