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HMMT 二月 2005 · 代数 · 第 3 题

HMMT February 2005 — Algebra — Problem 3

专题
Contest Math / 竞赛数学
难度
L3
来源
HMMT

题目详情

英文原题

  1. Let x , y , and z be distinct real numbers that sum to 0. Find the maximum possiblevalue ofxy + yz + zx
    .
    2 2 2
    x + y + z
    ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋
    a + b b + c c + a
解析

英文解析

  1. Let x , y , and z be distinct real numbers that sum to 0. Find the maximum possiblevalue ofxy + yz + zx
    .
    2 2 2
    x + y + z
    Solution: − 1 / 2
    2 2 2 2
    Note that 0 = ( x + y + z ) = x + y + z + 2 xy + 2 yz + 2 zx . Rearranging, we get that
    2 2 21
    xy + yz + zx = − ( x + y + z ), so that in fact the quantity is always equal to − 1 / 2.
    ⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋2
    a + b b + c c + a