HMMT 二月 2005 · 代数 · 第 10 题

HMMT February 2005 — Algebra — Problem 10

Find the sum of the absolute values of the roots of x − 4 x − 4 x + 16 x − 8 = 0. 1

解析

Find the sum of the absolute values of the roots of x − 4 x − 4 x + 16 x − 8 = 0. √ √ Solution: 2 + 2 2 + 2 3 4 3 2 4 3 2 2 x − 4 x − 4 x + 16 x − 8 = ( x − 4 x + 4 x ) − (8 x − 16 x + 8) 2 2 2 = x ( x − 2) − 8( x − 1) √ √ 2 2 2 = ( x − 2 x ) − (2 2 x − 2 2) √ √ √ √ 2 2 = ( x − (2 + 2 2) x + 2 2)( x − (2 − 2 2) x − 2 2) . √ √ 2 But noting that (1 + 2) = 3 + 2 2 and completing the square, √ √ √ √ 2 2 x − (2 + 2 2) x + 2 2 = x − (2 + 2 2) x + 3 + 2 2 − 3 √ √ 2 2 = ( x − (1 + 2)) − ( 3) √ √ √ √ = ( x − 1 − 2 + 3)( x − 1 − 2 − 3) . Likewise, √ √ √ √ √ √ 2 x − (2 − 2 2) x − 2 2 = ( x − 1 + 2 + 3)( x − 1 + 2 − 3) , √ √ so the roots of the quartic are 1 ± 2 ± 3. Only one of these is negative, namely √ √ 1 − 2 − 3, so the sum of the absolute values of the roots is √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ (1 + 2 + 3) + (1 + 2 − 3) + (1 − 2 + 3) − (1 − 2 − 3) = 2 + 2 2 + 2 3 . 4