HMMT 二月 2001 · 团队赛 · 第 9 题

英文解析

9. Compute for a > 1.
   i =1 ai
   2 3
   Solution: The sum S = a + ax + ax + ax + · · · for x < 1 can be determined by realizing
   ∞
   ∑
   a ai
   2 3
   that x s = ax + ax + ax + · · · and (1 − x ) S = a , so S = . Using this, we have =
   1 − x aii =1
   ∞
   [ ] [( ) ( ) ]
   ∑
   i 1 2 3 1 1 1 1 1 1
   a = a + + + · · · = a + + + · · · + + + + · · · + · · · =
   i 2 3 2 3 2 3 4
   a a a a a a a a a ai =1
   [ ] [ ] ( )
   1 1 1 1 1 a 1 1 a 2
   a + + + · · · = 1 + + + · · · = .
   2 2
   1 − a a 1 − a a 1 − a 1 − a a a 1 − a