折断木棍的短段期望

Breaking Stick

专题: Probability / 概率
难度: L4
来源: Brainstellar

题目详情

一根长度为 $L$ 的木棍在 $[0,L]$ 上均匀随机选一点折断。

问：较短那段的长度期望是多少？

The stick drops and breaks at a random point distributed uniformly across the length. What is the expected length of the smaller part?

解析

答案是 $L/4$ 。

设断点位置为 $X\sim\mathrm{Unif}(0,L)$ 。较短段长度为 $\min(X, L-X)$ 。

由对称性：在 $X\le L/2$ 时短段是 $X$ ，其期望为 $L/4$ ；在 $X\ge L/2$ 时短段是 $L-X$ ，期望同样为 $L/4$ 。

因此总体期望为 $L/4$ 。

Original Explanation

Solution

The probability that the break point belongs to first half is 1/2. In this case, the expected length of the small part is L/4. Its L/4 in the other case too. Hence E = 1/2 * L/4 + 1/2 * L/4 = L/4