输血匹配概率

Blood Transfusion Compatibility Probability

专题: Probability / 概率
难度: L4
来源: QuantQuestion

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某人群中血型分布为：40% 为 O 型，40% 为 A 型，12% 为 B 型，8% 为 AB 型。

作为医生，你遇到两位需要输血的病人：

第一位病人是 O 型血，只能接受 O 型血；
第二位病人是 A 型血，可以接受 O 型或 A 型血。

假设每位供血者只能给其中一位病人输血。随机选取 5 位供血者，求两位病人都能成功输血的概率。

In a population, blood types are distributed as follows: 40% type O, 40% type A, 12% type B, and 8% type AB.
As a physician, you face a situation where two patients need blood transfusions. The first patient has type O blood and can only receive type O blood, while the second patient has type A blood and can receive blood types O or A.
Assuming each blood donor can only provide for one patient, calculate the probability that both patients will receive a transfusion if you randomly select 5 donors.

解析

令 5 位供血者中 O 型数量为 $N_O$ ，A 型数量为 $N_A$ 。

要让两位病人都输血成功：第一位必须使用 1 名 O 型供血者；第二位必须使用剩余供血者中的 1 名 O 或 A 型。

等价条件为：

要么 $N_O\ge 2$ ；
要么 $N_O\ge 1$ 且 $N_A\ge 1$ 。

因此失败事件只有两类：

没有 O 型： $N_O=0$ ，概率为 $(1-0.4)^5=0.6^5$ ；
恰好 1 名 O 型且没有 A 型： $N_O=1,N_A=0$ ，其余 4 人必须来自 $\{B,AB\}$ （总概率 0.2）：

\binom{5}{1}(0.4)(0.2)^4.

两类互斥，所以成功概率

1-0.6^5-\binom{5}{1}0.4\cdot 0.2^4 =1-\frac{7776}{100000}-\frac{320}{100000} =\frac{2872}{3125}.

答案： $\boxed{\frac{2872}{3125}}\approx 0.91904$ 。