球坐标

Spherical Coodinates

专题: Probability / 概率
难度: L6
来源: QuantQuestion

个人笔记

题目详情

在以原点为中心、半径为 12 的 10 维球（10-ball）中均匀随机选取一点 $(X_1,X_2,\dots,X_{10})$ 。

求第一坐标 $X_1$ 的方差 $\mathrm{Var}(X_1)$ 。

英文原题

A random point $(X_1,X_2,\dots,X_{10})$ is uniformly at random selected from the $10-$ ball that has radius $12$ centered at the origin. Find the variance of $X_1$ , the first coordinate.

解析

由对称性， $\mathbb{E}[X_1]=0$ 。

对 $d$ 维半径 $R$ 的球内均匀分布，有

\mathbb{E}[\|X\|^2]=\frac{d}{d+2}R^2.

又由各向同性： $\mathbb{E}[\|X\|^2]=\sum_{i=1}^d \mathbb{E}[X_i^2]=d\,\mathbb{E}[X_1^2]$ 。

因此

\mathbb{E}[X_1^2]=\frac{1}{d+2}R^2.

代入 $d=10,R=12$ 得

\mathrm{Var}(X_1)=\mathbb{E}[X_1^2]=\frac{144}{12}=\boxed{12}.

英文解析

by symmetry, $\mathbb{E}[X_1]=0$ .

Even distribution in sphere for $d$ dimension radius $R$ , with

\mathbb{E}[\|X\|^2]=\frac{d}{d+2}R^2.

Isotropic: $\mathbb{E}[\|X\|^2]=\sum_{i=1}^d \mathbb{E}[X_i^2]=d\,\mathbb{E}[X_1^2]$ .

Therefore,

\mathbb{E}[X_1^2]=\frac{1}{d+2}R^2.

Substitute $d=10,R=12$ to get

\mathrm{Var}(X_1)=\mathbb{E}[X_1^2]=\frac{144}{12}=\boxed{12}.