未知起点

Unknown Starter

专题: Probability / 概率
难度: L6
来源: QuantQuestion

题目详情

你有 3 张牌，分别写着 $n,n+1,n+2$ ，但你不知道 $n$ 的值。三张牌都背面朝上。

你先翻开其中 1 张并看到数值。

若你选择“停”（stay），你的收益等于这张牌的数值。
若你不选择停，则翻开第二张牌。此时你再次可以选择停（收益为第二张数值），或继续翻开最后一张并被迫拿最后一张的数值。

设计最优策略。该策略的期望收益可以写成 $n+c$ 的形式，求常数 $c$ 。

You have $3$ cards, each labeled $n$ , $n+1$ , $n+2$ , and you don't know $n$ . All cards start face down. You flip one card and observe the value. If you say "stay", your payout is equal to that card's value. If you don't "stay", then you flip another card. Again, choose to "stay" (and receive payout equal to the 2nd card's value) or flip the final card and receive payout equal to the final card's value. Design the optimal strategy. The expected payout of this strategy is $n + c$ for some constant $c$ . Find $c$ .

解析

由于你不知道 $n$ ，第一次翻开的绝对数值无法告诉你它是 $n$ 、 $n+1$ 还是 $n+2$ ，所以第一步不应停（否则期望为 $n+1$ ）。

翻开第二张后，你能比较两张的大小：

若第二张大于第一张，则第二张更有可能是较大的那张，最佳是立刻停在第二张。
若第二张小于第一张，则更合理是继续翻开第三张。

用 6 种排列（把 $\{n,n+1,n+2\}$ 看作 $\{0,1,2\}+n$ ）直接算期望：

第二张大于第一张时停在第二张，否则取第三张。相对 $n$ 的期望收益为

\frac{1+2+2+2+1+0}{6}=\frac{4}{3}.

因此最优期望为 $n+\frac{4}{3}$ ，故

\boxed{c=\frac{4}{3}}.