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专题
Probability / 概率
难度
L2

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Alice 与 Bob 打一组球赛，从 0 分开始。

每局 Alice 以 30% 概率获胜（局与局独立）。每局赢家 +1 分、输家 -1 分。

先达到 +2 分者赢下整组。求 Alice 赢下整组的概率。

Alice and Bob are playing basketball. Both start from 0 points. Each game, Alice has a 30% chance of winning, independent between games. In each game, the winner gains 1 point and the loser loses 1 point. The first person to 2 points wins the set. Find the probability Alice wins the set.

解析

把分差视为随机游走：每局 Alice 赢则 +1+1（概率 p=0.3p=0.3），Alice 输则 −1-1（概率 q=0.7q=0.7）。从 0 出发，吸收边界为 +2+2（Alice 组胜）与 −2-2（Alice 组负）。

将状态平移到 {0,1,2,3,4}\{0,1,2,3,4\}，起点为 2，目标为先到 4（胜）而非 0（负）。设 r=q/p=73r=q/p=\frac{7}{3}。

带偏赌徒破产的命中概率为

P(先到 4∣从 2 出发)=1−r21−r4.\mathbb{P}(\text{先到 4}\mid\text{从 2 出发})=\frac{1-r^2}{1-r^4}.

代入得 r2=49/9, r4=2401/81r^2=49/9,\ r^4=2401/81，因此

1−49/91−2401/81=−40/9−2320/81=958.\frac{1-49/9}{1-2401/81}=\frac{-40/9}{-2320/81}=\frac{9}{58}.

所以 Alice 赢下整组的概率为 958\boxed{\frac{9}{58}}。