均匀点集间距 I

Spacious Uniform Values I

专题: Probability / 概率
难度: L6
来源: QuantQuestion

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在区间 $(0,1)$ 上独立均匀抽取 101 个随机点。求任意两点之间的距离都严格大于 $\frac{1}{1000}$ 的概率。

答案可写为最简形式 $\left(\frac{a}{b}\right)^c$ 。求 $a+b+c$ 。

You sample 101 uniformly random numbers in the interval $(0,1)$ . Find the probability that no two of the values selected are within a distance of $\frac{1}{1000}$ of one another. The answer should be in the fully reduced form $\left(\frac{a}{b}\right)^c$ . Find $a + b + c$ .

解析

设抽样点排序为 $0<X_{(1)}<\cdots<X_{(101)}<1$ 。

条件“任意两点距离都 $>d$ ”等价于相邻间距都 $>d$ （令 $d=1/1000$ ）：

X_{(i+1)}-X_{(i)}>d,\quad i=1,\dots,100.

做平移变换 $Y_i=X_{(i)}-(i-1)d$ ，则

0<Y_1<\cdots<Y_{101}<1-100d.

该有序区域体积为 $\frac{(1-100d)^{101}}{101!}$ ；而 101 个点无序抽样的密度对称，乘回 $101!$ 得概率

(1-100d)^{101}.

代入 $d=1/1000$ 得

\left(\frac{9}{10}\right)^{101}.

因此 $a=9,b=10,c=101$ ， $a+b+c=\boxed{120}$ 。