射手打靶：总共有多少种击碎顺序

Lowest Target

专题: Discrete Math / 离散数学
难度: L2
来源: QuantQuestion

题目详情

有 4 列完全相同的靶子，分别竖直叠放 $2,3,3,4$ 个靶。

射手每次先选择一列，然后击打该列中“最低的、尚未被击碎”的靶子。

当某列的靶子全部击碎后，该列不再可被选择。

问：射手击碎全部靶子共有多少种不同方式？（可理解为“每一步选哪一列”的序列数。）

An archer is shooting at targets. There are 4 columns of identical targets, each with $2, 3, 3,$ and $4$ targets stacked vertically, respectively. The archer first selects a column and then shoots the lowest-hanging target in that column that is not broken. Once a column is out of targets, it is no longer able to be selected. In how many ways can the archer break all the targets?

解析

每一列内部的击碎顺序被规则固定（只能自下而上），因此不同方式只来自于 4 列操作的交错顺序。

总共需要击碎 $2+3+3+4=12$ 个靶，相当于由字母 A/B/C/D 组成的长度 12 序列，其中 A 出现 2 次，B 出现 3 次，C 出现 3 次，D 出现 4 次。

可行序列数为多项式系数：

\frac{12!}{2!\,3!\,3!\,4!}=\boxed{277200}.