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25 枚硬币反复筛选：最终出现“全正面”的概率

coins lined up

专题
Probability / 概率
难度
L4

题目详情

有 25 枚硬币排成一行。重复进行如下过程：

  1. 将当前剩余的所有硬币同时抛掷一次；
  2. 把所有出现反面的硬币移除；
  3. 若某一轮中“剩余硬币全部为正面”，则立刻停止并算成功；若硬币被移除到 0 枚仍未出现“某轮全正面”，则算失败。

问：最终成功（某轮出现全正面）的概率是多少？

25 coins lined up, flip all, remove tails, repeat. Probability that eventually all show heads simultaneously (before we run out of coins) We keep flipping the remaining coins and discarding tails each round, stopping if all the coins in a round come up heads or if no coins remain. Probability that we end with all heads?

解析

设 pkp_k 为从 kk 枚硬币开始最终成功的概率。

当 k=0k=0 时 p0=0p_0=0。当 k≥1k\ge 1：

  • 以概率 2−k2^{-k} 该轮全为正面，直接成功；
  • 否则留下 jj 枚正面（0≤j≤k−10\le j\le k-1），其概率为 (kj)2−k\binom{k}{j}2^{-k}，并进入状态 jj。

因此

pk=2−k+∑j=0k−1(kj)2−kpj.p_k=2^{-k}+\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k}{j}2^{-k}p_j.

可用归纳证明：对所有 k≥1k\ge 1，都有 pk=1/2p_k=1/2（且 p0=0p_0=0）。

因此从 25 枚开始成功概率为 1/2\boxed{1/2}。