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2023×2023 网格：随机矩形与中间行相交概率

2023×2023 grid probability

专题
Probability / 概率
难度
L4

题目详情

在一个 2023×2023 的方格网中，把“中间那一行”（从 1 开始计数时为第 1012 行）整行涂色。

随机选取一个矩形：方法是随机选择两条不同的水平边界线与两条不同的垂直边界线（从所有网格线中选），由此确定一个轴对齐矩形。

问：所选矩形与该中间行有交集的概率是多少？

We have a 2023×2023 grid, and the entire “middle row” (row 1012 if indexing from 1) is shaded. We pick a rectangle (by choosing two distinct horizontal boundaries and two distinct vertical boundaries) at random. Probability that the chosen rectangle intersects that middle row?

解析

总矩形数为 (20242)2\binom{2024}{2}^2（水平网格线 2024 条、竖直网格线 2024 条）。

不与中间行相交的矩形只能完全在中间行之上或之下。由于 2023 为奇数，中间行上方有 1011 行、下方也有 1011 行，各自对应的水平网格线数量为 1012。

因此“不相交”的矩形数为

2⋅(10122)⋅(20242).2\cdot \binom{1012}{2}\cdot \binom{2024}{2}.

所以相交概率为

1−2(10122)(20242)(20242)2=1−2(10122)(20242)=1−10112023=10122023.1-\frac{2\binom{1012}{2}\binom{2024}{2}}{\binom{2024}{2}^2} =1-\frac{2\binom{1012}{2}}{\binom{2024}{2}} =1-\frac{1011}{2023} =\frac{1012}{2023}.