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重复掷骰

5 followed by 5 and by 6

专题
Probability / 概率
难度
L6

题目详情

反复掷一枚公平六面骰。问：模式“先掷出 5 再紧接着掷出 6”（记作 56）与模式“先掷出 5 再紧接着掷出 5”（记作 55）相比，哪个的期望出现时间更早？还是一样？

英文原题

When rolling a fair die repeatedly, is the pattern “5 followed by 6” expected to occur before “5 followed by 5,” or vice versa?

解析

对长度为 2 的模式：

  • 若两位不同（如 56），期望等待时间为 62=366^2=36。
  • 若两位相同（如 55），因为存在自重叠，期望等待时间更长，为 62+6=426^2+6=42。

因此 56 的期望出现时间更早（36 < 42）。

英文解析

For a pattern of length 2:

  • If they are different (e.g. 56), the expected wait time is 62=366^2=36.
  • If the two digits are the same (e.g. 55), the expected wait time is longer due to self-overlap, which is 62+6=426^2+6=42.

Therefore, the expectation of 56 appears earlier (36 < 42).