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公平骰最优停止

Fair die with 1 roll or 2 rolls or up to 3 rolls

专题
Probability / 概率
难度
L4

题目详情

你有一枚公平六面骰。

  1. 掷一次的期望收益是多少？

  2. 掷一次后可以选择“免费重掷一次”（只能一次）：最优策略下期望收益是多少？

  3. 若最多可掷 3 次（每次掷完都可选择停并拿当前点数；若到第 3 次则必须接受）：最优策略下期望收益是多少？

英文原题

You have a fair 6-sided die.

  1. What is the EV of a single roll?
  2. If you can choose to re-roll once (for free), what is the new EV under optimal strategy?
  3. If you can roll up to 3 times, what is the EV under optimal strategy?
解析
  1. 单次期望：
E[X]=1+2+3+4+5+66=3.5.\mathbb{E}[X]=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5.
  1. 可免费重掷一次：若第一次掷到 1、2、3 则重掷，否则停。

期望为

36⋅E[重掷]+36⋅E[停且为 4,5,6]=12⋅3.5+12⋅5=4.25.\frac{3}{6}\cdot\mathbb{E}[\text{重掷}]+\frac{3}{6}\cdot\mathbb{E}[\text{停且为 4,5,6}] =\frac{1}{2}\cdot 3.5+\frac{1}{2}\cdot 5=4.25.
  1. 最多 3 次：第 3 次的期望为 3.5；因此第 2 次看到 4、5、6 应停，否则继续；从而第 2 次后的最优期望为 4.25。

第 1 次看到 5、6 应停，否则继续，最终期望为

26⋅5.5+46⋅4.25=143≈4.6667.\frac{2}{6}\cdot 5.5+\frac{4}{6}\cdot 4.25=\frac{14}{3}\approx 4.6667.

英文解析

  1. Single Expectation:
E[X]=1+2+3+4+5+66=3.5.\mathbb{E}[X]=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5.
  1. Free throw once: If you throw 1, 2, 3 for the first time, throw again, otherwise stop.

Expected to be

36⋅E[reroll]+36⋅E[stop at 4,5,6]=12⋅3.5+12⋅5=4.25.\frac{3}{6}\cdot\mathbb{E}[\text{reroll}]+\frac{3}{6}\cdot\mathbb{E}[\text{stop at 4,5,6}] =\frac{1}{2}\cdot 3.5+\frac{1}{2}\cdot 5=4.25.
  1. Up to 3 times: the expectation for the 3rd time is 3.5; therefore the 2nd time to see 4, 5, 6 should be stopped, otherwise it will continue; thus the optimal expectation after the 2nd time is 4.25.

The first time you see 5, 6 should be stopped, otherwise continue, the final expectation is

26⋅5.5+46⋅4.25=143≈4.6667.\frac{2}{6}\cdot 5.5+\frac{4}{6}\cdot 4.25=\frac{14}{3}\approx 4.6667.