$2^{B_t}$ 是否为鞅；如何变成鞅

写 $X_t=2^{B_t}=e^{(\ln 2)B_t}$。

Itô：

$$dX_t=X_t\left((\ln 2)dB_t+\frac12(\ln 2)^2dt\right),$$

存在正漂移，因此 $\boxed{X_t}$ 不是鞅。

两种常见“修正”为鞅的方法：

• 乘上补偿因子（在原测度下）：

$$\boxed{\widetilde X_t=2^{B_t}\exp\left(-\frac12(\ln 2)^2 t\right)}\ \text{是鞅}$$

• 通过 Girsanov 换测度，把 $\widetilde B_t=B_t+\frac{\ln 2}{2}t$ 变成新测度下布朗运动，使

$$dX_t=X_t\ln 2\,d\widetilde B_t$$

从而在新测度下成为鞅。