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布朗运动：TT 前是否越过 1

Brownian motion level 1

专题
Finance / 金融
难度
L4

题目详情

What is the probability that a Brownian motion will cross the level 1 before time T ?

解析

所求为

P(sup⁡0≤t≤TWt≥1).\mathbb{P}\left(\sup_{0\le t\le T} W_t\ge 1\right).

由反射原理：

P(sup⁡0≤t≤TWt≥1)=2 P(WT≥1)=2(1−Φ(1T)),\mathbb{P}\left(\sup_{0\le t\le T} W_t\ge 1\right)=2\,\mathbb{P}(W_T\ge 1)=2\left(1-\Phi\left(\frac{1}{\sqrt{T}}\right)\right),

其中 Φ\Phi 为标准正态分布函数。