随机 ±1 矩阵行列式的方差

设 $A$ 的元素独立取 $\pm 1$ 且等概率。

由 Leibniz 公式

$$\det(A)=\sum_{\pi\in S_n} \operatorname{sgn}(\pi)\prod_{i=1}^n a_{i,\pi(i)}.$$

每个乘积项期望为 0，因此 $\mathbb{E}[\det(A)]=0$。

方差即二阶矩：

$$\operatorname{Var}(\det A)=\mathbb{E}[(\det A)^2]=\sum_{\pi}\mathbb{E}[\Pi_\pi^2]+2\sum_{\pi\ne\sigma}\mathbb{E}[\Pi_\pi\Pi_\sigma].$$

其中 $\Pi_\pi=\operatorname{sgn}(\pi)\prod_i a_{i,\pi(i)}$。

• $\mathbb{E}[\Pi_\pi^2]=1$
• 若 $\pi\ne\sigma$，总能找到某个 $i$ 使 $\pi(i)\ne\sigma(i)$，从而乘积中出现独立的零均值因子，故 $\mathbb{E}[\Pi_\pi\Pi_\sigma]=0$

因此

$$\boxed{\operatorname{Var}(\det A)=\sum_{\pi\in S_n}1=n!}.$$

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英文解析

$$\det(A)=\sum_{\pi\in S_n} \operatorname{sgn}(\pi)\prod_{i=1}^n a_{i,\pi(i)}.$$ $$\operatorname{Var}(\det A)=\mathbb{E}[(\det A)^2]=\sum_{\pi}\mathbb{E}[\Pi_\pi^2]+2\sum_{\pi\ne\sigma}\mathbb{E}[\Pi_\pi\Pi_\sigma].$$

• $\mathbb{E}[\Pi_\pi^2]=1$

$$\boxed{\operatorname{Var}(\det A)=\sum_{\pi\in S_n}1=n!}.$$