掷骰直到首次重复

投骰子直到重复

What is the expected number of rolls of a fair 6- sided die until it shows a repeat, that is, a number you have already rolled?

解析

设 $E_k$ 为“还剩 $k$ 个点数没出现过”时，到出现重复还需掷的期望次数。则 $E_0=1$ 。

当 $k\ge 1$ 时：下一次掷出新点的概率为 $k/6$ ，掷出重复的概率为 $1-k/6$ ，故

E_k=\frac{k}{6}(1+E_{k-1})+\left(1-\frac{k}{6}\right)\cdot 1 =1+\frac{k}{6}E_{k-1}.

递推得到

\boxed{E_6=\frac{1223}{324}\approx 3.77}.