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连续两次相同：游戏结束期望

Either two heads/tails

专题
Probability / 概率
难度
L4

题目详情

概率题：连续两次相同：游戏结束期望。

英文原题

We play a game, with a fair coin. The game stops when either two heads (H) or tails (T) appear consecutively. What is the expected time until the game stops?

解析

设 NN 为停止抛掷次数。对 k≥2k\ge 2，序列长度为 kk 且首次在末尾形成 HH 或 TT 的概率为 2⋅(1/2)k=21−k2\cdot(1/2)^k=2^{1-k}，因此

E[N]=∑k=2∞k⋅21−k=3.\mathbb{E}[N]=\sum_{k=2}^{\infty}k\cdot 2^{1-k}=\boxed{3}.

英文解析

E[N]=∑k=2∞k⋅21−k=3.\mathbb{E}[N]=\sum_{k=2}^{\infty}k\cdot 2^{1-k}=\boxed{3}.