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随机选两个子集:A ⊆ B 的概率

Given a set

专题
Probability / 概率
难度
L4

题目详情

Given a set XX with nn elements, choose two subsets AA and BB at random. What is the probability of AA being a subset of BB ?

解析

对集合 XX 中每个元素 xx,它在 (A,B)(A,B) 中的归属有 4 种等可能情况:

  • ABA\setminus B
  • BAB\setminus A
  • ABA\cap B
  • X(AB)X\setminus(A\cup B)

要使 ABA\subseteq B,必须对所有元素都不出现“在 ABA\setminus B”这种情况。

单个元素不落入 ABA\setminus B 的概率是 3/43/4,元素之间独立,因此

(34)n.\boxed{\left(\frac{3}{4}\right)^n}.