6 根绳子随机打结：形成单一大环的概率

Six identical pieces of rope

专题: Probability / 概率
难度: L4
来源: QuantQuestion

题目详情

You have six identical pieces of rope. The top ends of the ropes are randomly paired up and the pairs are tied together. The same procedure is done with the bottom ends of the ropes. What is the probability that, as a result of this process, the six pieces of rope will be connected in a single closed loop of rope?

解析

先把上端随机配对打结，得到 3 根较长的绳（共 6 个自由端）。再对这些自由端随机配对打结。

为了最终形成一个大环，过程中的前两次打结都不能把同一根绳的两端系在一起（那会提前形成小环，最终不可能变成单环）。

第一次从 6 个端点里任取一端，其匹配端共有 5 个，恰好有 1 个是同一根绳的另一端，失败概率 $1/5$ ，成功概率 $4/5$ 。
在第一次成功的条件下，剩余结构等价于 2 根绳（4 个端点）：第二次打结把同一根绳两端系在一起的失败概率为 $1/3$ ，成功概率 $2/3$ 。

前两次都成功后，最后一次必然闭合成单一大环。

因此概率为

\boxed{\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}=\frac{8}{15}}.