硬币厚到有 1/3 概率立起来

在常见的简化模型里，把硬币视为半径为 $a$、厚度为 $t$ 的圆柱，并把它内接到半径

$$R=\sqrt{a^2+(t/2)^2}$$

的球面上。随机方向等价于在球面上均匀取点：

• 落在“侧面对应的球带（zone）”则立边；该球带面积占比为 $\frac{t}{2R}$。

要求立边概率为 $1/3$：

$$\frac{t}{2R}=\frac{1}{3}\Rightarrow t=\frac{2R}{3}.$$

代入 $R^2=a^2+(t/2)^2$ 得

$$R^2=a^2+\frac{R^2}{9}\Rightarrow R^2=\frac{9}{8}a^2,$$

因此

$$\boxed{t=\frac{a}{\sqrt2}}.$$

用直径 $D=2a$ 表示，

$$\boxed{t=\frac{D}{2\sqrt2}\approx 0.3536D}.$$

现实抛掷是否立边还受弹性、落地角度等影响，上述是理想化几何模型答案。

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英文解析

$$R=\sqrt{a^2+(t/2)^2}$$ $$\frac{t}{2R}=\frac{1}{3}\Rightarrow t=\frac{2R}{3}.$$ $$R^2=a^2+\frac{R^2}{9}\Rightarrow R^2=\frac{9}{8}a^2,$$ $$\boxed{t=\frac{a}{\sqrt2}}.$$ $$\boxed{t=\frac{D}{2\sqrt2}\approx 0.3536D}.$$